Méthode QR pour le calcul de valeurs propres
$$\begin{cases} A_1={{A}}\\ A_{k+1}={{R_kQ_k\quad\text{ avec }\quad A_k=Q_kR_k}}\end{cases}$$
- c'est une méthode très coûteuse, mais on peut réduire le coût en passant par des matrices de Hessenberg, comme par exemple la matrice compagnon d'un polynôme
- théorème de convergence :
- hypothèses :
- \(A\) est inversible et diagonalisable, avec des valeurs propres de modules différents (donc réelles)
- \(P^{-1}\) (qui permet de passer à la base où \(A\) est diagonale) admet une factorisation LU
- résultats :
- \(\displaystyle{\lim_{k\to+\infty} }(A_k)_{ii}=\lambda_i\) et \(\displaystyle{\lim_{k\to+\infty} }(A_k)_{ij}=0\) pour \(i\ne j\) (\(A_k\) tend vers la version diagonale de \(A\))
- si \(A\) admet une valeur propre complexe, alors cet algo va donner un bloc \(2\times2\) non nul autour de la diagonale, donc ne converge pas
Factorisation QR,
Factorisation LU
